Table des matières

• • DE L'AUTRE CÔTÉ DU MIROIR, et de ce qu'Ernest Courmet y trouva.
• Ernest COUMET
• Mersenne, Frenicle, et l' Élaboration de l'analyse combinatoire dans la premiÈre moitiÉ du XVIIe siÈcle
  • PRÉFACE.
  • PRÉAMBULE
    • • 1. Sur Aimé de Gaignières
        • (petit a) Les recueils manuscrits de la Bibliothèque nationale, fonds français, 12357 et 12458
        • (petit b) L'identité du copiste. Hommage de Pascal à Aimé de Gaignières à propos d'un problème de combinaison
        • (petit c) Contenu des notes de lecture, relevées par Aimé de Gaignières, dans les œuvres de Mersenne
      • 2. À propos de Frenicle : L'Abrégé des combinaisons édité en 1693
  • PREMIÈRE PARTIE ÉMERGENCE DE L'ANALYSE COMBINATOIRE À TRAVERS LES " USAGES " DES " COMBINAISONS ".
  • CHAPITRE 1 Premiers Contacts de Mersenne avec les " Combinaisons "
    • A. Le texte des Quaestiones in Genesim. Lutte de Mersenne contre la Cabale
      • 1 Occasion d'un exposé sur les " combinaisons " : critique de Pic de la Mirandole
      • 2. Règles de calcul
        • (petit a) Combinaisons
        • (petit b) Permutations
        • (petit c). Essai d'appliquer à un même mot ces deux types de commutatio
      • 3. Textes de cabalistes sur les " commutations " des lettres de l'alphabet ; différents résultats correspondant à des types de calculs distincts
      • 4. Critiques de Mersenne contre les procédés des cabalistes ; nature combinatoire de ces procédés
    • B. Un texte de La Vérité des sciences. Plagiat par Mersenne d'un texte de Clavius
      • 1. Analyse du texte de Clavius.
        • (petit a) Combinaisons
        • (petit b) Règle de la « proposition double »
        • (petit c) Permutations
        • (petit d) Un projet de calcul ambigu ; calcul de grand A de (22 et 22)
      • 2. Comparaison entre le texte de Clavius et sa reprise par Mersenne
    • C. « Usages (sic) » des « combinaisons (sic) » selon Leurechon
      • 1. Présentation d'un texte de Leurechon - appartenant aux Selectae propositiones de 1622), repris par Mersenne dans La Vérité des sciences
      • 2. L'inventaire de Leurechon
        • (petit a) Permutations
        • (petit b) Langage et écriture
        • (petit c) Un vers célèbre
        • (petit d) Logique
        • (petit e) Musique et peinture
      • 3. L'adaptation de Mersenne. Un passage sur le jeu d'échecs
    • Conclusion du chapitre 1.
  • CHAPITRE 2 Des merveilles alphabétiques aux langues artificielles
    • • 1. Cryptographie et alphabets
        • (petit a) Intérêt porté à la cryptographie dans le milieu de Mersenne
        • (petit b) Mersenne et les « chiffres (sic) »
        • (petit c) Manipulations alphabétiques en cryptographie
      • 2. Un texte de Guldin
      • 3. Mersenne : langues artificielles
        • (petit a) De la critique de la langue adamique aux langues artificielles
        • (petit b) Conditions imposées à la meilleure langue possible ; « art des caractères (sic) » et « art de combiner (sic) »
    • CHAPITRE 3 Vers l'art de combiner
    • A. Texte de Matan sur l'ars combinandi
      • 1. Texte anonyme publié par Mersenne ; l'auteur en est Matan
      • 2. Procédé méthodique d'énumération de Permutations
      • 3. L' « utilité (sic) » de l'ars combinandi
        • (petit a). Anagrammes et mots soumis à des métathèses
        • (petit b). Calculs combinatoires de Xénocrate et Chrysippe
        • (petit c) La polygraphie de Trithème ; mention d'autres arts
    • B. De la fécondité de certains " usages " pour le calcul combinatoire
      • 1. Atomes : comparaisons entre les atomes et les lettres de l'alphabet
      • 2. Anagrammes
      • 3. Le problème du plus beau des chants
        • (petit a) L'antinomie du plus beau des chants
        • (petit b) Avis divergents de correspondants de Mersenne
        • (petit c) Incertitude de Mersenne ; nouvelle orientation : chercher à parfaire les chants
        • (petit d) Tous les chants n'ont pas été faits
    • C. Art de combiner et mathématiques
      • 1. Combinaisons et arithmétique pratique
      • 2. La passion pour les grands nombres
    • Conclusion.
  • DEUXIÈME PARTIE L'ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES « COMBINAISONS (sic) »
  • CHAPITRE 1. Les notions fondamentales chez Mersenne
    • A. Permutations
      • 1. Permutations simples : la « combinaison ordinaire (sic) »
      • 2. Permutations avec répétitions
    • B. Arrangements
    • C. Combinaisons
      • 1. Liens avec les Arrangements
    • 2. La règle de la « progression double (sic) ».
      • 3. Une énumeration de Combinaisons
      • 4. Propriété de symétrie des tables de Combinaisons
    • D. Combinaisons avec répétitions
    • E. Arrangements avec répétitions
      • 1. On tient compte de l'ordre et de la répétition ; régle de calcul ; combinaison la plus générale
      • 2. Tous les mots de longueur inférieure ou égale à 22, formés avec 22 lettres ; panégyrique de la facilité et de l'universalité
    • CHAPITRE 2 Les notions fondamentales chez Frenicle
    • A. Classification générale des « combinaisons »
    • B. Permutations
      • 1. « Combinaison d'ordre » 1 r.
      • 2. « Combinaison d'ordre » II r.
    • C. Combinaisons et Arrangements
      • 1. Rapports entre « combinaison mêlée » 1 r, et « combinaison de changement » 1 r.
      • 2. La formule directe des combinaisons
      • 3. Théorèmes
    • D. Arrangements avec répétitions et Combinaisons avec répétitions
      • 1. « Combinaison mêlée » II r : règle de calcul illustrée par les « variétés (sic) » obtenues avec des chiffres
      • 2. Exemples typiques de la « combinaison mêlée » II r, et de la « combinaison de changement » 1 r ; la première de ces « combinaisons » comme « combinaison générale (sic) »
  • CHAPITRE 3. Les Combinaisons avec répétition
    • A. Premières approches
      • 1. Chants où une note se répète plusieurs fois
        • (petit a). Proposition XVII du Livre second des chants.
        • (petit b) Passage correspondant des Harmonicorum libri
      • 2. À propos d'une équivoque
        • (petit a) Notes semblables et différentes ; une critique d'Aimé de Gaignières
        • (petit b). Une propriété de symétrie de longueur 22.
        • (petit c). Une Table figurant dans les manuscrits d'Aimé de Gaignières.
      • 3. Chants où plusieurs des notes distinctes peuvent se répéter (Proposition XVIII du Livre second des chants)
        • (petit a) Cas où on peut se ramener à ceux qui ont été examinés dans la Proposition XVII
        • (petit b) Cas qui se résolvent dans un raisonnement direct élémentaire
    • B. Cas général
      • 1. Exemple soluble à l'aide des règles précédentes : chants de longueur 4
      • 2. Calcul de grand K de (n et p) : cas où ne jouent plus les analogies
    • C. Rapports entre les calculs de grand K de (n et p) et grand G de (n et p)
      • 1. Reprise en considération de l'ordre
        • (petit a) On tient compte de l'ordre : passage de grand K de (n et p) à grand G de (n et p)
        • (petit b) Passage inverse
      • 2. Parallélisme entre les deux méthodes indirectes pour calculer grand K de (n et p), et grand G de (n et p)
    • D. Méthode directe pour calculer grand K de (n et p)
      • 1. Présentation d'un calcul
      • 2. « Ôter l'ordre ( sic) » de la Table de grand G de (n et p)
        • (petit a) Caractère équivoque de cette expression
        • (petit b) Méthode directe et méthode indirecte
      • 1. Texte de l'Abrégé des combinaisons
        • (petit a) Calculs de grand K de (3 et 12), et grand K de (6 et 100) ; calcul de grand K de (n et p)
        • (petit b) Liens entre Combinaisons simples et Combinaisons avec répétitions
      • 2. Une tentative de calcul avortée : croyance à un passage aisé de grand G de (n et p) à grand K de (n et p)
      • 3. Mersenne a eu du mal à comprendre le propos de Frenicle
    • F. Un problème sur le jeu de dés
    • Conclusion
  • CHAPITRE 4 Le Triangle arithmétique
    • A. Cardan et Tartaglia.
      • 1. Cardan
        • (petit a). Construction de la Table
        • (petit b) Les numeri angulares ; la formule directe donnant grand C de (n et p)
      • 2. Tartaglia : circonstances extraordinaires de son invention
        • (petit a) Le problème : calcul de grand K de (6 et n) ; solution de Montmort.
        • (petit b) Construction et propriétés de la table
    • B. Mersenne
      • 1. Une Table construite à propos d'un problème particulier
      • 2. Construction de la Table ; avantage de la méthode directe pour obtenir : grand C de (36 et 1), grand C de (36 et 2)
      • 3. Un autre mode de lecture : trouver des nombres uno intuitu
      • 4. La table comme procédé de calcul
        • (petit a) Attitude critique à l'égard de la Table
        • (petit b) Mersenne ne l'a pas considérée comme un objet mathématique
    • C. Frenicle. Liens entre grand C de (n et p) et grand K de (n et p)
      • 1. Les « puissances triangulaires (sic) »
        • (petit a) Les « ordres numériques (sic) » chez Pascal ; définition par Frenicle des « puissances tri­angulaires » Le texte de Fermat.
        • (petit b). Sur le choix de l'expression " puissance ".
      • 2. Quelques propriétés importantes
      • 3. Une erreur de lecture de Mersenne
    • Conclusion
  • CHAPITRE 5 Les Combinaisons multiples
    • A. Mersenne : variations de chants
      • 1. Variation des temps de notes
      • 2. Exemples
        • (petit d)
        • (petit e)
      • 3. Les façons de chanter à plusieurs voix
    • B. Mersenne : mots « utiles (sic) » et mots « inutiles (sic) »
      • 1. Le problème : les contraintes de la prononciation ; relativité des classifications des voyelles et des consonnes ; système 1 et système II
      • 2. Illustration de la méthode par des exemples
      • 3.
        • (petit a). Système 1 : 16 consonnes, 5 voyelles
        • (petit b) Système II : 19 consonnes, 10 voyelles
      • 4. Nombres très grands de mots très longs
    • C. Frenicle : les « combinaisons multiples (sic) ». Leur place dans la classifi­cation des combinaisons
      • 1. Exemples portant sur des Permutations
      • 2. Exemples portant sur des Arrangements
      • 3. Exemples portant sur des Combinaisons
      • 4. Exemples portant sur des Permutations : assemblages de lettres pour former des dictions
    • Conclusion
  • Conclusion de la deuxième partie.
    • • 1.
        • (petit a) Les points d'analyse combinatoire traités par Hérigone
        • (petit b) Les résultats atteints par Mersenne et Frenicle
      • 2.
        • (petit a) Parallèle entre les classifications des « combinaisons (sic) » de Frenicle et de Jacques Bernoulli
        • (petit b) Difficultés surmontées et mises à jour d'un réseau simple de relations entre des notions et entre des règles de calcul
  • TROISIÈME PARTIE. ÉNUMÉRATION ET NUMÉRATIONS
    • CHAPITRE 1. Énumération de permutations
    • A. Le Manuscrit des chants de 8 notes.
    • B. Une remarque de Descartes sur les anagrammes.
    • C. Énumérations du Père Dobert
    • D. Numération des permutations de (n) notes
      • 1. Un chant étant donné, déterminer son numéro.
        • (petit a). Deux exemples préliminaires ; un exemple de Mersenne.
        • (petit b). Règle générale ; cas particuliers.
      • 2. Un numéro étant donné, déterminer le chant auquel il correspond.
      • 3. Une méthode " naturelle " d'énumération, Note 32 : nombres ordonnés selon leur grandeur.
    • Conclusion : d'après un exposé de C A Laisant
      • 1. Numération factorielle.
      • 2. Application à la classification des Permutations ; liens entre celles-ci et la numé­ration factorielle ; solutions des deux problèmes de Mersenne.
    • CHAPITRE 2. " Combinaisons générales (sic) ", et numérotation
  • A
    • • 1. Problème 1 : un mot étant donné, trouver son numéro.
      • 2. Problème 1prime : un numéro étant donné, trouver le mot correspondant.
    • B. Problèmes analogues aux problèmes 1 et 1prime pour les mots de même longueur
      • 1. Problème II
    • C. Frenicle : traitement des mêmes problèmes
      • 1.
        • (petit a). Problème 1.
        • (petit b). Problème 1prime.
      • 2.
        • (petit a) Problème II
        • (petit b). Problème IIprime
    • D. Analogie entre les procédures précédentes et le système de numéra­tion à base 22
      • 1. Mersenne
        • (petit a) Analogie, mais absence du zéro
        • (petit b) Intérêt historique de l'analogie. Mersenne a lu ses dictions comme des nombres
      • 2. Frenicle : le système décimal comme un certain système d'écriture
    • CHAPITRE 3 Énumérations et numérations
    • A. Langues artificielles
      • 1. Lettre de Peiresc
      • 2. Capacité indéfinie de dénomination des langues artificielles
      • 3. « Un paradoxe d'une autre force que celui d'Archimède »
    • B. Cryptographie
      • 1. Les Procédures 1 et II comme systèmes cryptographiques
      • 2. Construction d'alphabets ayant un nombre réduit de caractères
        • (petit a) Vigenère et Bacon
        • (petit b) Mersenne
      • 3. Un système cryptographique de représentation des nombres chez Cardan
    • Conclusion
  • CONCLUSION GÉNÉRALE.
  • APPENDICE.
  • 1. Textes manuscrits inédits de Mersenne
    • A. Extraits de la Suite manuscrite des Quaestiones in Genesim II
    • B. Extraits du Manuscrit des chants de 8 notes
    • C. Notes manuscrites portées par Mersenne sur son exemplaire de main de
    • l'Harmonie universelle
      • 1. Notes portées dans les marges du « Livre second des chants »
      • 2. Note portée à la fin de l'Harmonie universelle.
  • 2. Notice sur Frenicle
    • 3. Notice sur les manuscrits de l'Abrégé des combinaisons de Frenicle
    • A. Manuscrits des Archives de l'Academie des sciences
      • 1. Le manuscrit F-a
      • 2. Le manuscrit F-b
    • B. Manuscrits de la Bibliothèque nationale
      • 1. Bibliothèque nationale, fonds français, nouvelles acquisitions, 5176
      • 2. Bibliothèque nationale, fonds français, nouvelles acquisitions, 5175
    • C. Sur la provenance de ces manuscrits
  • 4. Notice sur Aimé de Gaignières
• • BIBLIOGRAPHIE.
    • A. Marin Mersenne
    • B. Bernard Frenicle
    • C. Manuscrits d'Aimé de Gaignières
    • D. Ouvrages du XVIe et du XVIIe siècles
    • E. Histoire des mathématiques
    • F. Études diverses et ouvrages de documentation
  • S D POISSON ÉLÈVE À POLYTECHNIQUE : quelques documents inédits. Note.
    • • 1. Deux attestations
      • 2. " L'affaire du binôme de Newton ".
      • 3. « Société d'enseignement »
    • SOMMAIRE.
      • • TABLE DES MATIÈRES