Table des matières

• Avant-propos
  • Pi pour tous
• CHAPITRE 1 - Premières rencontres - Définir et évaluer PI
  • Premières rencontres avec pi
  • Les cercles du monde physique et le pi du physicien
  • Première définition de pi
  • Une deuxième définition géométrique de pi
  • Une première définition arithmétique de pi
  • Encore des définitions géométriques
  • Les définitions plus abstraites
  • La définition de pi par radicaux ou la quadrature du cercle
  • Mesures expérimentales de pi
  • Les méthodes de Monte-Carlo
  • Les aiguilles de Buffon : pi sur le parquet
  • Évaluer pi en regardant le ciel
  • L’électricité, les pendules, etc.
  • Deux autres définitions élémentaires de pi
• CHAPITRE 2 - Curieux et curiosités - Intrigues et amusements autour de pi
  • Apprendre pi
  • Moyens mnémotechniques
  • Exercices oulipiens
  • Circle digits : a self referential story par Michael Keith
  • Les chiffres de pi et la musique
  • Votre anniversaire dans pi
  • Quelques coïncidences : doit-on s’en étonner ?
  • Une loi ne peut pas fixer pi
  • Folie de la quadrature et des approximations
  • Un poisson d’avril
  • Le message dans pi de Cari Sagan
  • Paradoxes impliquant pi
    • (1) La corde autour de la Terre
    • (2) Le paradoxe de Bertrand
    • (3) Démonstration que pi = 2
    • (4) Démonstration que pi est rationnel
  • Humour avec pi
  • Faits curieux sur pi : des décimales fausses isolées
  • Un nombre très proche de pi mais qui n’est pas pi
  • Une coïncidence mathématique
  • Ecriture en base pi
• CHAPITRE 3 - Histoire de pi aux temps de la géométrie - Quadratures et polygones
  • Le « pi » des anciens
  • Les Babyloniens
  • Les Égyptiens
  • La Bible
  • La quadrature du cercle
  • Archimède
  • Les Mayas
  • En Inde
  • En Chine
  • Dans le monde de l’Islam
  • En Europe avant l’analyse
  • La méthode des isopérimètres
• CHAPITRE 4 - Histoire de pi au temps de l’analyse - Les formules infinies
  • John Wallis
  • William Brouncker
  • James Gregory
  • Gottfried Wilhelm Leibniz
  • Isaac Newton
  • James Stirling
  • John Machin
  • La notation de pi
  • Leonhard Euler
• CHAPITRE 5 - Du calcul à la main à l’ère des machines - Le règne des arcs tangentes
  • Les motivations des chasseurs de décimales
  • De von Ceulen aux drôles de « 7» de William Shanks
  • William Shanks au Palais de la découverte
  • Tout est-il si facile avec les machines ?
  • Avec une machine, c’est quand même moins bête
  • Que faire avec le million de Jean Guilloud et Martine Bouyer ?
  • Complément : histoire des formules de pi avec arctan
• CHAPITRE 6 - Le calcul pratique de pi - L'exemple des algorithmes compte-gouttes
  • Principes généraux de la pratique du calcul de pi
  • Programmes mystérieux
  • Une série d’Euler judicieusement utilisée
  • Les algorithmes compte-gouttes : pi au tableau
  • Le calcul en bases à pas variable
  • Accélération de la convergence
• CHAPITRE 7 - Les mathématiques vivantes - Atteindre un milliard de décimales
  • Du million au milliard : 40 ans au moins ?
  • Comment gagner 20 ans ?
  • La multiplication rapide
  • Division et extraction rapide
  • Srinivasa Ramanujan : un génie parfait ?
  • Le progrès des formules pour arriver au milliard
  • Les records de 1973 à avril2009
• CHAPITRE 8 - Le calcul isolé des chiffres de pi - Une découverte issue des mathématiques expérimentales
  • Plus rien de nouveau sur pi ?
  • Progrès mathématiques et perfectionnement des machines
  • Les évidences de l’intuition mathématique
  • Une formule radicalement nouvelle
  • Pour les digits mais pas pour les décimales
  • Comment utiliser la formule BBP ?
  • Les résultats des calculs
  • Les classes de complexité et pi
  • Les autres constantes
  • Simon Plouffe, un grand connaisseur de pi
  • Les mathématiques expérimentales
  • Ordinateurs et vérités mathématiques
• CHAPITRE 9 - pi est-il transcendant ? - Irrationalité, radicaux et équations algébriques
  • Les mathématiciens aspirés dans l’infini à la recherche de pi
  • Être finiment définissable, c’est être rationnel
  • Vraiment les rationnels ne suffisent pas
  • Se soumettre aux raisonnements par l’absurde ?
  • Les nombres e et pi sont irrationnels
  • Être finiment définissable, c’est être constructible à la règle et au compas
  • Être finiment définissable, c’est être algébrique
  • Petite histoire de la transcendance
• CHAPITRE 10 - pi est-il aléatoire ? - Le désordre et la complexité
  • Anomalies ?
  • Le nombre pi soumis aux tests
  • Le nombre pi n’a aucune raison d’être aléatoire
  • Le nombre pi est-il simple ?
  • Cryptographie
  • Les nombres statistiquement aléatoires
  • Les nombres aléatoires au sens de Martin-Löf
  • Un nombre pire que pi
  • L’aboutissement de la recherche du « finiment définissable »
  • Conclusion
• Chapitre 11 - Derniers échos de la chasse aux décimales
  • Coup de tonnerre
  • Les secrets de l’exploit
  • Contrôler chaque erreur possible
  • Gérer les mémoires
  • La délicate loi de Moore
  • Calculer, c’est copier
• Chapitre 12 - Au pays des illuminés du nombre pi
  • Apprendre pi par cœur
  • 200 000 décimales ?
  • Les obstinés simplificateurs de pi
  • Des revues prédatrices qui publient n’importe quoi, si l’on paye
• Chapitre 13 - Le nombre pi est partout !
  • Le nombre de chocs avec deux billes et un mur
  • Caché dans une figure fractale
  • Écrit par le jeu de la vie
  • pi n’est tout de même pas partout !
• Annexes
  • Annexe du chapitre 1
    • Une intégrale pour prouver Buffon
  • Annexes du chapitre 4
    • Démonstration de la formule de Wallis
    • Démonstration de la formule de Stirling
  • Annexes du chapitre 5
    • Démonstration des formules d’arctan
    • Les formules avec arctan les plus efficaces
  • Annexe du chapitre 6
    • L’extraction de racines carrées
  • Annexe du chapitre 7
    • La transformée de Fourier rapide pour multiplier
  • Annexes du chapitre 8
    • Démonstration de la formule de Simon Plouffe
    • Quelques formules nouvelles
  • Annexes du chapitre 9
    • Les figures constructibles à la règle et au compas
    • Démonstration de la transcendance de e et de pi
• Tableaux, formules et données complémentaires
  • Approximations rationnelles et algébriques de pi
  • Constructions à la règle et au compas d’approximations de pi
  • Le nombre pi en géométrie
  • Le nombre pi en arithmétique et en probabilité : complément au chapitre 1
  • La formule d’Euler de 1740 et quelques variantes
  • Des formules de séries pour pi
  • Des formules d’intégrales définies pour pi
  • Les nombres autour de pi
  • Ecriture de pi dans diverses bases
  • Dix mille chiffres binaires de pi
  • Sites Internet
• BIBLIOGRAPHIE